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益智課堂《漢諾塔》教學設計

更新時間:2018/11/28 20:53:00  瀏覽量:2300  手機版

  教學目標:

  1.認識漢諾塔。了解漢諾塔歷史及游戲規則,學會移動1~6個圓盤的玩法。能用條理清晰的語言闡述自己的想法。

  2.在學習過程中,經過自己的探索,發現前面探究獲得的結果可以幫助解決后面未知的問題,總結首環移動與圓盤的奇偶性關系。體驗數學方法倒推、轉換、遞歸等在游戲中的應用,培養學生思考力。

  3.開發動手能力,培養遇到難題時堅持不懈的精神。

  教學重點:掌握漢諾塔的游戲規則,發現最優步驟取決于首環移動位置。

  教學難點:倒推和遞歸等數學思想的應用。

  教學準備:多媒體教學課件,每人一個漢諾塔。

  活動過程:

  一、展示預習作業,導入新課

  師:昨天老師留了預習作業,讓大家收集有關漢諾塔的資料。現在我們就來看看幾位同學收集的資料吧。

  生1:通過搜集我知道了漢諾塔的構造,它是由一個底座和三根同樣高的柱子構成,這三根柱子從左到右可以叫A柱、B柱、C柱。其中一根柱子上,由下至上還排列著由大到小的8個不同顏色的圓環。

  生2:我通過搜集資料了解到漢諾塔的游戲規則:

  (1) 將所有盤按原來的排列移到另一根柱子上。

  (2) 在玩的時候,每次只能移動一個圓盤。

  (3)大圓環永遠不能壓在小圓環上面。

  (4)按上邊規則盡可能用最少的步數移出。

  為了玩得更輕松,有人還把器具的玩法編成了口訣:一次一環,大不壓小。

  生3:我搜集到了有關漢諾塔的傳說。印度有一個古老的傳說:在世界中心貝拿勒斯的圣廟里,一塊黃銅板上插著三根寶石柱。印度教的主神梵天在創造世界的時候,在其中一根柱子上從下到上地穿好了由大到小的64片金盤,這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜,總有一個僧侶按照下面的法則移動這些金盤:一次只移動一個金盤,不管在哪根柱子上,小金盤必須在大金盤上面。僧侶們預言,當所有的金盤都從梵天穿好的那根柱子移到另外一根柱子上時,世界將會在一聲霹靂中消滅,而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡,世界末日隨之到來!

  師:世界末日真的會到來嗎?一位法國的著名數學家愛德華聽了這個故事,就動手玩了這個游戲,結果他笑了,他為什么笑了呢?今天我們玩一玩這個器具,共同走進奇妙的漢諾塔。(板書課題。)

  二、嘗試活動,探尋數學思想

  師:(出示課件。)剛才同學介紹了漢諾塔的三根柱子分別叫A柱、B柱、C柱。為了一會兒操作方便我們還可以把圓環所在的A柱叫起始柱;假如我們想把圓環移到C柱上,C柱就叫目標柱;B柱就叫過渡柱。而在圓環的移動過程中,有時候它們的角色會發生轉變。這8個圓環也可以叫做圓盤,我們可以從上至下叫1環、2環、3環……8環,另外這8個環的首領是最小的1環,所以1環也可以叫首環。

  師:大家還記得這個游戲的規則嗎?把圓環按原來的順序,也就是原來小環在上,大環在下,把它們移到另一根柱子上時,仍然要小環在上,大環在下。同學們想想移動的過程中我們的第一個目標是把最大環移至目標柱,還是把最小環移至目標柱。(板書:一次一環,大不壓小。)動手試試吧。

  師:剛才在操作中你遇到了什么困難?

  生1:我移到3根柱子都有圓環的時候就不知道怎么辦了。

  生2:有時候我移來移去又移回到起始柱了。

  師:看來要成功地移出8個環確實有難度,它的移動一定是有規律可尋的,那我們可不可以降低難度由易到難,從一個盤的移動開始體會。接下來請大家借助老師為你準備的導學單,我們一起來研究一下。

  師:導學單的第一列是什么?(生:環數。師板書。)也就是要移動幾個環;第二列呢?這里哪個詞最重要?(生:最少用幾步。師板書。)“最少”體現了數學上的優化思想,所以也可以說是最優步數;第三列呢?(生:首環位置。師板書。)就是第一步先把首環放在哪根柱子上?這正是我們要驗證的一個重要問題。

  師:現在我們就從易到難從一個環開始研究。一環移動用幾步?

  (生演練。)

  毋庸置疑一環移出沒有障礙,一步就可以完成,第一步首環直接落在目標柱上。(板書:1-1-目。)

  師:要是兩個環我們怎么移出呢?請你試試。

  (生匯報,分別請5步完成及3步完成的學生演示。)

  師:這兩位同學的操作,雖然都把圓環送達了目標柱,但是你更喜歡誰的方法?為什么?(生:用3步完成的。)(板書:3。)當我們選擇最簡潔的步驟完成任務時,就體現了我們數學中的“優化”思想。在學習和生活中我們會選擇優化的方法,效率就會提高,我們的頭腦也會變得更聰明更智慧。

  現在我們看一下兩位同學演示過程的解析圖,為什么有的同學用3步,有的同學用5步?他們在第幾步出現了不同?

  師:首環移動時就不同了。用5步完成的同學第一步把首環落在哪了?(生:目標柱。)。用3步完成的同學,第一步把首環落在哪了?(生:過渡柱。)

  移出兩環時為什么把首環落在過渡柱上步數才最優呢?在移動兩環時我們的第一目標是——(生:最大環——目標柱。)最大圓環能否直接移去目標柱?(生:不能。)原因是——(生:首環壓住了最大環。)怎么辦?(生:上面的首環是障礙,所以先把首環落在過渡柱上,首環要禮讓才能順利移出最大環。)就像排隊一樣,越想往前擠就越浪費時間,首環如果先擠占了目標柱,最大環就不能直接去目標柱了,就浪費了步數,所以首環應落在——(生:過渡柱。)

  師:再次操作,請所有同學把首環落在過渡柱上移出兩環。如果同桌有困難,請相互幫助。

  師:看來首環的位置就已經決定我們的步數是否最優。 要想優化兩環的步驟,我們的第一步一定落在哪里?(生:過渡柱上)。回頭看移出一環時我們直接把它落到哪根柱子上了?(生:目標柱)。那要想優化三環的步驟首環應該落到哪根柱子上?看課件讓我們分組試試,女生落在目標住上,男生落在過渡柱上,把你的步驟記錄在導學單上。

  (男女生分別匯報,得出優化三環步驟為7步,首環落在目標柱。)

  師:為什么把首環落到目標柱用的步數最少?請同學們再次移動找出原因。誰來講講移三環的時候為什么把首環落到目標柱用的步數最少?

  生:移三環的第一目標還是最大環先移到目標柱上,那上面兩個環就是大環的障礙,要想把上面兩個環都移至過渡柱上,第一個環又是第二個環的障礙,所以要先把第一個環落在目標柱上。

  師:他的這種方法叫做倒推法,倒推是一種非常好的數學思想。它是利用已知條件,最大環要移去目標柱,倒著向前推理,那前兩環應該怎么辦?二環要移至過渡柱,倒著向前推理一環怎么辦?這樣倒著推理出首環要落在目標柱步驟才能最優。

  師:在移出四環之前你能以第一目標:最大環移去目標柱開始,倒推出首環的位置嗎?同桌交流,大膽推測。

  (一生說推理過程:4-目,前3-過,前2-目,首-過。首環應落在過渡柱位置。)

  (生操作,匯報步數,展示操作過程。)

  師:第一目標:最大環去目標柱,前三環要去過渡柱,這時候B柱其實是前三環的——(生:目標柱。)C柱變成前3環的——(生:過渡柱。)按三環的移動經驗,7步把它們移至B柱上。第八步將最大盤成功落在目標柱上,再將前三環移至C柱上,這時候C柱又變成前三環的目標柱了,A柱變成前三環的過渡柱。這個過程你有什么發現?在移動的過程中三個柱子的角色是在變換的。這種變換就是另一種數學思想——轉換,利用轉換的思想可以令我們走出困境。

  觀察前四環的移動,你們發現了首環移動的規律了嗎?(生:單數環首環移動到目標柱,雙數環首環移動到過渡柱。)能根據這個規律推想一下移出五環時,首環落在哪?(師板書。)

  師:我們再看最優步數,四環的步數是怎么得到的?是在幾環的基礎上?7×2+1,(師板書)這個7是誰用的步數?這個1呢?哪位同學來說一說?

  師:五環用多少步你能算出來嗎?(生:15×2+1=31。)六環呢?(生:31×2+1=63。)

  師:那我們能不能將它分解成前四環和最大環來想,前四環如果能移到過渡柱,最大環就能順利地移至目標柱。我們剛剛研究過四環的移出用15步。 同樣道理,移4環需要考慮怎樣把前3環移出,移3環需要考慮怎樣把前2環移出。這種思想就叫遞歸。遞歸就是把一個復雜的思想轉換成與之類似的簡單的小問題來解決。5環較為復雜,我們就把它轉換成4環來想,4環就把它轉換成3環來想,這就是遞歸。

  (游戲:盲移5環,移后報時。)

  三、總結

  師:同學們真是了不起,在短短的時間內不僅探究出首環位置的規律,還找到了計算圓環移動次數的方法。數學家愛德華也找到了這個方法,他按這個方法計算下去,10環1023步,20環100多萬步,30環 10 億多步……繼續算下去,移動完64個環要用1800多兆步,移完這個步數大約要用5850億年。5850億年,那是個遙不可及的未來!所以愛德華笑了。通過漢諾塔的學習,我們了解并運用了一些數學思想,比如:化難為易、優化、倒推、轉換、遞歸……這些數學思想能使我們變得更聰明更智慧,少年智則國智!少年強則國強!有了你們的大智慧我們的祖國一定會更加富強!

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